Суть булевой алгебры заключается в истинности и ложности высказываний, то есть высказывание может быть только ложным, или только истинным и никак иначе. Например, планета Земля круглая — истина, планета Земля плоская — ложь.
Ассоциативный закон
x1∨(x2∨x3)=(x1∨x2)∨x3
x1^(x2^x3)=(x1^x2)^x3
Коммутативный закон
x1∨x2=x2∨x1
x1^x2=x2^x1
Дистибутивный закон
(x1^x2)∨x3=(x1∨x3)^(x2∨x3)
(x1∨x2)^x3=(x1^x3)∨(x2^x3)
Законы де Моргана
$\bar{x_1}$∨$\bar{x_2}$=$\overline{{x_1}∧{x_2}}$
$\bar{x_1}$∨$\bar{x_2}$=$\overline{\overline{x_1}∧\overline{x_2}}$
$\bar{x_1}$^$\bar{x_2}$=$\overline{{x_1}∨{x_2}}$
$\bar{x_1}$^$\bar{x_2}$=$\overline{\overline{x_1}∨\overline{x_2}}$
Закон поглощения
x1∨(x1^x2)=x1
x1^(x1∨x2)=x1
Закон склеивания
(x1^x2)∨(x1^$\bar{x_2}$)=x1
(x1∨x2)^(x1∨$\bar{x_2}$)=x1
Идемпотентность
A^A=A
A∨A=A
Дополнение
A^¬A=0
A∨¬A=1
Двойное отрицание
¬¬A=A
Конъюнкция (логическое умножение, И, ^)
| a | b | a^b |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Дезъюнкция (логическое сложение, ИЛИ, ∨)
| a | b | a∨b |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Инверсия (логическое отрицание, НЕ,¬)
| a | $\bar{a}$ |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Импликация (если-то)
| a | b | a → b |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Эквивалентность (тогда и только тогда)
| A | B | А↔B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
1096