Функция вида:

 у = хⁿ

называется степенной функцией с натуральным показателем.

График степенной функции онлайн можете построить в этом сервисе, например, чтобы построить график функции у=х³ введите так: Math.pow(x,3)

При  n=1 получаем функцию вида у = х

Рассмотрим свойства функции у = kx:

1. Область определения — D(f)=(-∞; +∞).
2.  Область значения — E(f)=(0; +∞).
3. Нечетная, так как f( — kх) = k ( — х)= — kx = -f(x)
4. При k > 0  функция возрастает,  а при k < 0 функция убывает на всей числовой прямой.

График линейной функции y=x

---

При  n=2 получаем функцию вида у = х² — эта функция называется параболой.

Рассмотрим свойства функции у =х² :

1. Область определения — D(f)=(-∞; +∞).
2.  Область значения E(f) y∈[0; +∞).
3. Чётная, так как f( — х) = ( — x)² = x² = f (х)
4. На промежутке (—∞; 0] функция убывает, а на промежутке [0; +∞) функция возрастает.
5. Корень x=0
6. Экстремумы функции — min при x=0.

График параболы y=x²

---

При  n=3 получаем функцию вида у = х³ — эта функция называется кубической параболой.

Рассмотрим свойства функции у = х³:

1. Область определения — D(f)=(-∞; +∞).
2.  Область значения — E(f)=(-∞; +∞).
3. Нечётная, так как f( — х) = ( — x)³ = —x³ = —f (х)
4. Функция возрастает на всей числовой прямой.
5. Корень x=0
6. Экстремумов нет.

График кубической параболы y=x³

---

Замечание

Если n>2 и произвольное четное натуральное число (n=4, 6, 8,… .), то степенная функция обладает теми же свойствами, что и функция  у=х² и график функции напоминает параболу.  

Если n>3 и произвольное нечетное натуральное число (n=5, 7, 9,… .), то степенная функция обладает теми же свойствами, что и функция  у=х³ и график функции напоминает кубическую параболу.  

Степенная функция с целым отрицательным показателем.

Степенная функция вида:

$$y = \frac{k}{x^n}$$

или

у = kх^—n

называется степенной функцией с целым отрицательным показателем.

Рассмотрим функции при  n=1 и  n=2.

---

При  n=1 получаем функцию вида $y = \frac{k}{x}$ — эта функция называется гиперболой.

Рассмотрим свойства функции $y = \frac{k}{x}$:

1. Область определения — D(f)=(-∞; 0)∪(0; +∞).
2.  Область значения — E(f)=(-∞; 0)∪(0; +∞).
3. Нечётная, так как f( — х) = k/( — x) = —k/x = —f (х)
4. При k > 0 на промежутке (-∞; 0)∪(0; +∞) функция убывает, а при k < 0 на промежутке (-∞; 0)∪(0; +∞) функция возрастает.
5. Экстремумов нет.

График гиперболы $y = \frac{1}{x}$ 

---

При  n=2 и k=1 получаем функцию вида $y = \frac{1}{{{x^2}}}$ .

Рассмотрим свойства функции $y = \frac{1}{{{x^2}}}$:

1. Область определения — D(f)=(-∞; 0)∪(0; +∞).
2.  Область значения — E(f)=(0; +∞).
3. Чётная.
4. Функция убывает на промежутке (0; +∞) и возрастает на промежутке (-∞; 0).

График функции $y = \frac{1}{{{x^2}}}$ 

---

Рассмотрим элементарную функцию с корнем $y = \sqrt x $

Свойства функции $y = \sqrt x $:

1. Область определения — D(f)=[0; +∞).
2.  Область значения — E(f)=[0; +∞).
3. Функция ни чётная, ни нечётная.
4. Функция возрастает на [0; +∞).
5. Экстремумов нет.
6. Корень x=0
7. Экстремумы функции — min при x=0.