Геометрическая прогрессия называется последовательность b1, b2, b3 … bn, у которой задан первый член не равный нулю b1≠0, а каждый следующий, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число не равное нулю q≠0 и задаётся следующим равенством:
bn+1 = bnq
где q – знаменатель прогрессии и b1≠0, q≠0.
Если q>0 и b1>0, то геометрическая прогрессия возрастает, а если 0<q<1 и b1>0 — то убывает.
Если q>0, то геометрическая прогрессия не монотонна.
Формула n-го члена геометрической прогрессии равна:
bn = b1⋅qn-1
Формула знаменателя геометрической прогрессии:
Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии находится:
где q≠1 — знаменатель прогрессии, а Sn — сумма ее первых n членов, S1=b1, Sn=bn.
Если q = 1, получаем выражение
Sn=b1⋅n
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии |q|<1 определяется равенством:
при этом
Характеристическое свойство:
bn2=bn-1⋅bn+1
Пример 1
Найти q, если b1=3, b4=81
Решение
b4 = b1q3
81 = 3q3
q3=27
q=3
Пример 2
Дана геометрическая прогрессия 8; 4; 2; 1; 1/2; 1/4 …
Найти сумму этой прогрессии?
Решение
q = 4/8=1/2
$S = \frac{8}{{1 — \frac{1}{2}}} = 16$
Пример 3
Дана геометрическая прогрессия q=2; b1=5
Найти сумму первых семи её членов?
Решение
${S_7} = \frac{{5\left( {{2^7} — 1} \right)}}{{2 — 1}} = 635$
Пример 4
Дана геометрическая прогрессия 16; 8; 4; 2; 1; 1/2; 1/4 …
Найти сумму b10?
Решение
q = 8/16=1/2
b10 = 16⋅(1/2)9-1 = 1/16 = 0,0625
Калькулятор суммы геометрической прогрессии