Вероятность наступления события А, заключающийся в появлении хотя бы одного из n независимых в совокупности событий А1, А2,…, Аn определяется по формуле:
$P\left( A \right) = 1 — P\left( {\bar A} \right) = 1 — {q_1}\cdot{q_2}\cdot \ldots \cdot{q_n}$
$\overline {{A_1}} ,\overline {{A_2}} , \ldots ,\overline {{A_n}} $ — вероятности противоположных событий.
Вероятность наступления противоположного события $\overline {{A}}$ находится по формуле:
или
q=1–p
где q — вероятность наступления события, противоположного событию A
Пример 1
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,02 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
Решение
q1 — вероятность неисправности первого платёжного автомата;
q2 — вероятность неисправности второго платёжного автомата.
Искомая вероятность равна:
P=1–0.02·0.02=0.9996
Пример 2
Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.
Решение
А — «стрелки получат приз». Из условия задачи вероятность попадания равна р=0.3, следовательно вероятность их промаха
q=1–р=1–0,3=0,7
Отсюда искомая вероятность равна
P(A)=1–q4=1–0,74=
=1–0,2401=0,7599
Пример 3
Вероятность попадания при одном выстреле в мишень 0,7. Найдите вероятность хотя бы одного попадания при 4 выстрелах.
Решение
q=1–р=1–0,7=0,3
P(A)=1–q4=1–0,34=
=1–0,0081=0,9919
Пример 4
Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятности отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.
Решение
А — «устройство не работает»
A1 — «отказал первый элемент»
A2 — «отказал второй элемент»
Найдём вероятности безотказной работы независимых элементов
q1=1-0,05=0,95,
q2=1-0,08=0,92
Следовательно, вероятность того, что устройство не работает равна
P(A)=1-q1·q2=1-0,95·0,92=
==1-0,874=0,126
Пример 5
Вероятность того что студент сдаст первый экзамен равна 0.7, второй — 0.5, третий — 0.6. Найти вероятность того, что студентом будет сдан хотя бы один экзамен.
Решение
Здесь событие A — студент сдаст все экзамены
Противоположное событие $\overline {{A}} $ студент не сдаст все экзамены
По теореме умножения имеем
P(A)=1-(1-p1)·(1-p2)·(1-p3)
P(A)=1-(1-0.7)·(1-0.5)·(1-0.6)=0.94
Пример 6
Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,5; 0,6
Решение
А — «мост разрушен»
$\overline {{A}}$— «ни одна авиационная бомба не попала в мост»
Здесь события:
A1=0.3, A2=0.4, A3=0.5, A4=0.6 из условия задачи.
Воспользуемся формулой:
Находим соответствующие им вероятности
$\overline {{A_1}}$ — «первая авиационная бомба не попала в мост »
Р( $\overline {{A_1}}$ ) = 1-0,3 = 0,7
$\overline {{A_2}}$ — «вторая авиационная бомба не попала в мост »
Р($\overline {{A_2}}$) = 1 — 0,4 = 0,6
$\overline {{A_3}}$ — «третья авиационная бомба не попала в мост »
Р($\overline {{A_3}}$) = 1 — 0,5 = 0,5
$\overline {{A_4}}$ — «четвёртая авиационная бомба не попала в мост »
Р($\overline {{A_4}}$) = 1-0,6 = 0,4
Из условия задачи события A1, A2, A3 и A4 независимы, следовательно получаем