Псевдосфера и его уравнение

Псевдосфера — это поверхность отрицательной Гауссовой кривизны, которая имеет форму, аналогичную сфере, но в гиперболическом пространстве. Она является аналогом геометрической сферы в гиперболической геометрии, подобно тому, как плоскость является аналогом сферы в евклидовой геометрии.

Псевдосферы также широко изучались в математике и физике, особенно в контексте гиперболической геометрии и теории кривых поверхностей. Они имеют уникальные свойства и играют важную роль в понимании гиперболических пространственных структур.

Истолкование итальянского математика Бельтрами о псевдосфере 1868 г. в научной работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии»:

Псевдосфера пример поверхности с постоянной отрицательной кривизной, которая является  первой реальной моделью неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского).

Псевдосферу можно получить вращением линии трактрисы вокруг ее оси.

Название псевдосферы вел  Бельтрами.

Параметрическое уравнение псевдосферы имеет вид:

x=a·sinu·cosv

y=a·sinu·sinv

z=a·(ln(tg(u/2))+cosu)

График псевдосферы

Площадь псевдосферы определяется по формуле:

S=4πa²

Формула объёма псевдосферы:

V=2/3πa³

Свойство псевдосферы

На псевдосфере, которая является примером геометрии с отрицательной кривизной, сумма углов в треугольнике будет меньше 180 градусов, в отличие от евклидовой геометрии, где сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, и гиперболической геометрии, где сумма углов в треугольнике больше 180 градусов.

На псевдосфере сумма углов в треугольнике зависит от его размера и формы, но всегда будет меньше 180 градусов. Это связано с тем, что геометрия псевдосферы имеет отрицательную кривизну, что приводит к изменению свойств прямых и углов в сравнении с классической евклидовой геометрией.

Гауссова кривизна псевдосферы равна −1/a²