Решение дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
Решение уравнения вида
y’=f(x)·g(x)
представляется следующей зависимостью
$$\frac{{dy}}{{dx}} = f(x) \cdot g(y)$$
$$\frac{{dy}}{{g(y)}} = f(x)\,\,dx$$
$$\int {\frac{1}{{g(y)}}} dy = \int {f(x)\,\,dx} $$
Пример 1
Найти решение дифференциального уравнения
$$y’ + y = 0$$
Решение
$$\frac{{dy}}{{dx}} = — y$$
$$\frac{{dy}}{y} = — dx$$
$$\int {\frac{{dy}}{y} = — \int {dx} } $$
$$\ln y = — x + C$$
$$y = {e^{ — x}} \cdot {e^C}$$
$$y = {C} \cdot {e^{ — x}}$$
Пример 2
Решите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
y’ = ycos x
Решение
$$\eqalign{& \frac{{dy}}{{dx}} = y\,\cos x\,\,\,\, \cr& \frac{1}{y}\frac{{dy}}{{dx}} = \cos x\,\,\,\, \cr& \frac{1}{y}dy = \cos xdx \cr} $$
$$\eqalign{& \int {\frac{1}{y}} dy = \int {\cos \,x\,dx\,\,\,} \, \cr& \ln \,y = \sin x + C \cr& y = {e^{\sin x + C}} = {e^C} \cdot {e^{\sin x}} = C \cdot {e^{\sin x}} \cr& ({e^C} = C) \cr} $$
Пример 3
Найти решение дифференциального уравнения
$$\frac{{dS}}{dt} = –αS$$
Решение
$$\int{\frac{{dS}}{s}} = –\int{αdt}$$
$$ln|S|=αt$$
$$S=Ce^{αt}$$
751