Вертикальная асимптота
Прямая x=a на графике 1 — вертикальная асимптота.
Если один из пределов $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a} — 0} f(x)$ или $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a} + 0} f(x)$ равен бесконечности, то это вертикальная асимптота.
График 1 — вертикальной асимптоты x=a
Горизонтальная асимптота
Прямая (график 2) y=b является горизонтальной асимптотой при условии, если существуют конечные пределы:
$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = b$ и $\mathop {\lim }\limits_{x \to — \infty } f(x) = b$
График 2 горизонтальной асимптоты y=b
Наклонная асимптота
Прямая (график 3) y=kx+b является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы k и b при x→∞ или x→+∞:
$k = \lim \frac{{f(x)}}{x}$ и $b = \lim (f(x) — kx)$
График 3 наклонной асимптоты y=kx+b
Пример 1
Найти асимптоты функции
$y = \frac{{6{x^2} + 5x — 5}}{{2x + 3}}$
Решение
$2x + 3 \ne 0$
$x \ne — \frac{3}{2}$
Так как предел равен бесконечности, следовательно получаем вертикальную асимптоту, которая равна
$x = — \frac{3}{2}$
Найдём наклонную асимптоту функции (это коэффициенты прямой k и b), используя правило Лопиталя, имеем
Прямая имеет вид
y=3x-2
Пример 2
Найти асимптоты функции
Решение
Преобразуем данную функцию
Константа равная 6 показывает, что данная функция поднимется вверх по оси OY и поэтому рассмотрим левую часть данной функции.
Выполняются следующие условия:
x-1≠0
x≠1
тогда
следовательно, функция имеет вертикальную асимптоту x=1.