Алгебраические действия над комплексными числами включает сложение, вычитание, умножение, деление. Рассмотрим их.
I. Сложение и вычитание:
$$z = {z_1} \pm {z_2}$$
$$z = ({a_1} + i{b_1}) \pm ({a_2} + i{b_2})$$
$$z = ({a_1} \pm {a_2}) + i({b_1} \pm {b_2})$$
$$\eqalign{ & {z_1} = {z_2} + {z_3} = \cr& = ( — 2 + 5i) + (3 — 7i) = 1 — 2i \cr} $$
$$\eqalign{ & {z_1} = {z_2} — {z_3} = \cr & = ( — 2 + 5i) — (3 — 7i) = — 5 + 12i \cr} $$
II. Умножение:
$$\eqalign{& z = {z_1}\cdot{z_2} = ({a_1} + i{b_1})({a_2} + i{b_2}) = \cr & = {a_1}{a_2} + i{a_1}{b_2} + i{b_1}{a_2} + {i^2}{b_1}{b_2} \cr} $$
$$\eqalign{ & {z_1} = {z_2} \cdot {z_3} = \cr& = ( — 2 + 5i) \cdot (3 — 7i) = \cr& = — 6 + 14i + 15i + 35 = 29 + 29i \cr} $$
В случае умножения комплексно – сопряженных чисел:
$$\eqalign{& z\bar z = (a + ib)(a — ib) = \cr& = {a^2} + {b^2} = {\left| z \right|^2} = {\left| {\bar z} \right|^2} \cr} $$
III. Деление:
$$\eqalign{ & z = \frac{{({a_1} + i{b_1})({a_2} — i{b_2})}}{{({a_2} + i{b_2})({a_2} — i{b_2})}} = \cr& = \frac{{({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}) + i({a_2}{b_1} — {a_1}{b_2})}}{{a_2^2 + b_2^2}} \cr} $$
$$\eqalign{ & {z_1} = \frac{{{z_2}}}{{{z_3}}} = \frac{{ — 2 + 5i}}{{3 — 7i}} = \cr & = \frac{{( — 2 + 5i)(3 + 7i)}}{{(3 — 7i)(3 + 7i)}} = \cr & = \frac{{ — 6 — 14i + 15i + 35{i^2}}}{{9 — 49{i^2}}} = \cr& = \frac{{29 + i}}{{58}} = 0,5 + \frac{i}{{58}} \cr} $$
801